Question

已知圆c：（x-1)^2+(y-2)^2=25，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(1)求证：直线l恒过定点

（2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度 求详解，要解题过程

Answer 1

（1）直线L整理得到
x+y-4+m(2x+y-7)=0
解方程组
x+y-4=0
2x+y-7=0
得x=3 y=1
直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点(3,1)

（2）将(3,1)代入圆的方程，易知点在圆内。
设圆心到直线L的距离为d，弦长为2t，则满足
t²=r²-d²
要使t有最大值，则d取最小值，当直线过圆心时，d有最小值0，此时m=-1/3
要使t有最小值，则d取最大值
d²=a=(3m+1)^²/(5m²+6m+2)
=(9m²+6m+1)/(5m²+6m+2)
5am²+6am+2a=9m²+6m+1
(5a-9)m²+(6a-6)m+(2a-1)=0
这个方程有解必须
(6a-6)²-4(5a-9)(2a-1)≥0
a²-5a≤0
0≤a≤5
dmax=√5
2t=4√5
将a=5代入(5a-9)m²+(6a-6)m+(2a-1)=0，解得
m=-3/4