Question

如图所示，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，且CF⊥BE，如果AF=3cm

如图所示，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，且CF⊥BE，如果AF=3cm，求线段BF的长度
http://zhidao.baidu.com/question/335474137.html?an=0&si=1

Answer 1

解：因为 三角形ABC是等边三角形
所以 AB=AC=BC, 角ABC=角BAC=角=60度，
又因为 AE=CD,
所以 三角形ABE全等于三角形CAD,
所以 角ABE=角CAD,
因为 角CAD+角BAF=角BAC=60度，
所以 角ABE+角BAF=60度，
所以 角AFB=120度，
因为 CF垂直于BE,
所以 角BFC=90度，
所以 角AFC=150度，
所以 角CAD+角ACF=30度，
作角BAM=角ACF, AM交BF于M,
因为 AB=AC, 角ABE=角CAD,
所以 三角形ABM全等于三角形CAF,
所以 BM=AF=3cm，
因为 角AMF=角ABE+角BAM, 角ABE=角CAD, 角BAM=角ACF,
所以 角AMF=角CAD+角ACF=30度，
因为 角AFB=120度，
所以 角MAF=30度，
所以 角MAF=角AMF,
所以 FM=AF=3cm,
所以 BF=BM+FM=6cm。

Answer 2

过B作AD的垂线，垂足为K
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ACB=60°
AB=AC=BC
在△ABE和△ACD中
AB=AC ，
∠BAE=∠ACD，
AE=CD ，
∴△ABE全等于△ACD（SAS）
∴AC=BC
∴EC=BD
在△ABD和△BCE中
AB=BC，
∠ABD=∠BCE，
BD=CE，
∴△ABD全等于△BCE（SAS)
所以∠BAD∠CBE，∠ADB=∠BEC
在△ADC和△AEF中
∠FAE=∠DAC，
∠AEF=∠ADC，
∴△ADC相似于△AEF
∴∠BFD=∠AEF=∠ADC=60°
∴FK=1/2BF，
∴AK=AF+FK=BF，
∴AK-FK=AF，AF:BF=1:2