Question

三角形ABC是等边三角形,P是其内任意一点,PD平行AB，PE平行BC，PF平行AC，求证PD+PE+PF=AB

Answer 1

作PH‖AB交AB于H，作FM‖BC交AC于M，
显然三角形AFM和FHP为等边三角形，四边形BDPH和PEMF为平行四边形。
PF=FH，PE=FM=AF，PD=BH
所以PD
PE
PF=FH
AF
BH=a

Answer 2

证明:延长FP交BC于M.
∵PF∥AC.
∴∠PFB=∠A=60°=∠B,即梯形PFBD为等腰梯形,BD=PF;
∵PM∥CE;PE∥MC.
∴四边形PMCE为平行四边形,MC=PE;
又∠PDM=∠B=60°,∠PMD=∠C=60°.
∴⊿PDM为等边三角形,DM=PD.
故PD+PE+PF=DM+MC+BD=BC=a.