Question

若x,y,z都是正实数,且x+y+z=xyz,求证:(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+1/z)

Answer 1

通分之后变成要证
(y+z)yz+(x+z)xz+(x+y)xy>2(yz+xz+xy)
即(y^2z+yz2)+(xz^2+x^2z)+(x^2y+xy^2)>2(yz+xz+xy)
因为y^2z+yz^2>=2yz*根号下(yz)
而yz=(x+y+z)/x=1+(y+z)/x>1,所以根号下yz也是大于1的，所以
2yz*根号下(yz)
大于2yz，所以y^2z+yz^2
>2yz,同理可知另外的两个部分，所以不等式成立。

Answer 2

M1:左-右，以xyz为分母进行通分，化简合并后，得
分子：z(x-y)^2
+
x(y-z)^2
+
y(z-x)^2
分母：xyz
除成3个式子:
(x-y)^2/xy
+
(y-z)^2/yz
+
(z-x)^2/xz
利用
x^2
+
y^2
>=
2xy
及初始条件即可证明上式每个式子都
>=0
。
即原式
左>=
右。