高数如何利用极限证明不等式
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证题的步骤基本为:
任意给定ε>0,要使|f(x)-A|<ε,(通过解这个不等式,使不等式变为δ1(ε)<x-x0<δ2(ε)为了方便,可让ε值适当减少),取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε),于是
对于任意给定的ε>0,都找到δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε
.
即当x趋近于x0时,函数f(x)有极限A
例如证明f(x)=lnx在x趋于e时,有极限1
证明:任意给定ε>0,要使|lnx-1|<ε,只须-ε<lnx-1<ε,1-ε<lnx<1+ε,e^(1-ε)<x<e^(1+ε),
∴e^(1-ε)-e<x-e<e^(1+ε)-e,取δ(ε)=min(e-e^(1-ε),e^(1+ε)-e)min后面两数是不等式两端的值,但左边的是不等式左端的负值要取绝对值,这两正数取较小的为δ,于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0,使当0<|x-e|<δ时,有|f(x)-1|<ε
.
即当x趋近于e时,函数f(x)有极限1
说明一下:1)取0<|x-e|,是不需要考虑点x=e时的函数值,它可以存在也可不存在,可为A也可不为A。
2)用ε-δ语言证明函数的极限较难,通常对综合大学数学等少数专业才要求
任意给定ε>0,要使|f(x)-A|<ε,(通过解这个不等式,使不等式变为δ1(ε)<x-x0<δ2(ε)为了方便,可让ε值适当减少),取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε),于是
对于任意给定的ε>0,都找到δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε
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即当x趋近于x0时,函数f(x)有极限A
例如证明f(x)=lnx在x趋于e时,有极限1
证明:任意给定ε>0,要使|lnx-1|<ε,只须-ε<lnx-1<ε,1-ε<lnx<1+ε,e^(1-ε)<x<e^(1+ε),
∴e^(1-ε)-e<x-e<e^(1+ε)-e,取δ(ε)=min(e-e^(1-ε),e^(1+ε)-e)min后面两数是不等式两端的值,但左边的是不等式左端的负值要取绝对值,这两正数取较小的为δ,于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0,使当0<|x-e|<δ时,有|f(x)-1|<ε
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即当x趋近于e时,函数f(x)有极限1
说明一下:1)取0<|x-e|,是不需要考虑点x=e时的函数值,它可以存在也可不存在,可为A也可不为A。
2)用ε-δ语言证明函数的极限较难,通常对综合大学数学等少数专业才要求
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