Question

已知且,函数.求函数的定义域,并判断的单调性;若,求.

已知且,函数. 求函数的定义域,并判断的单调性; 若,求.

Answer 1

据对数函数的真数大于,列出不等式求出定义域;求出导函数,利用导函数大于函数得到递增;导函数小于函数单调递减.
求出代入极限式,利用特殊函数的极限值求出极限.
解:函数,,.
当时,由解得,定义域为.
此时,由于是上的减函数,故函数是减函数.
当时,由解得,定义域为.
此时,由于是上的增函数,故函数是减函数.
若,因为,所以,由函数定义域知,
因为是正整数,故,
.
本题主要考查对数函数的定义域,复合函数的单调性,极限及其运算,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.