Question

质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向

质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
(2) 子弹进入沙土的最大深度．

Answer 1

①根据牛顿第二定律F=ma
即-kv=ma,a=dv/dt,那么有-kv=m(dv/dt)
整理该式有(-k/m)dt=dv/v
两边同时积分t的积分范围为0-t，v的积分范围是v。-v
最后的结果为v=v。e^(-km/t)
②因为v=dx/dt（这里设子弹射入的最大深度为x）
所以有dx=vdt 带入上一步求得的v，两边同时积分可得x=(m/k)v。[1-e^(-kt/m) ]
可得xmax=(m/k)v。
③当xmax=(m/k)v。时，有e^(-kt/m)=0，这个数理论上是取不到的，
就是说让1-e^(-kt/m)尽可能等于1，所以一般认为t=3m/k是可行的，
实质上t越大1-e^(-kt/m) 越趋近于1。

Answer 2

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
a = -kv/m = dv/dt
dv/v = - k/m dt
积分，得 v = v0 exp(-k/m t)
(2) 子弹进入沙土的最大深度．
v = dx/dt = v0 exp(-k/m t)
积分，得 x = m v0/k [1 - exp(-k/m t) ]
最大深度 m v0/k