Question

已知正项等差数列an的前n项和为sn,若s3＝12,2a1,a2,a3+1成等比数列。求an 及bn

已知正项等差数列an的前n项和为sn,若s3＝12,2a1,a2,a3+1成等比数列。求an 及bn＝an/3＾n 的前n项和Tn

Answer 1

因为是等差数列,s3=a1+a2+a3=3a2=12,所以a2=4,
因为2a1,a2,a3+1成等比数列，所以a2^2=2a1(a3+1)
即16=2(a2-d)(a2+d+1)
于是 d^2+d-12=0解得d=3或-4（舍去-4，因为是正项数列）
所以an=3n-2 ，bn=(3n-2)/3^n=n/3＾(n-1)- 2/3＾n
Tn=1+2/3+3/3^2+……+n/3＾(n-1)- [2/3+2/3^2+……+2/3＾n]
令 x =1+2/3+3/3^2+……………+n/3＾(n-1) (1)
则 1/3*x= 1/3+2/3^2+3/3^3+……+(n-1)/3＾(n-1)+n/3＾n (2)
(1)-(2),得 2/3*x=1+1/3+1/3^2+……………+1/3＾(n-1) - n/3＾n
=(1-1/3^n)/(1-1/3)-n/3＾n
所以， x=9/4-1/4*1/3^(n-2)-1/2*n/3^(n-1)
所以，Tn=9/4-1/4*1/3^(n-2)-1/2*n/3^(n-1)- [2/3+2/3^2+……+2/3＾n]
=9/4-1/4*1/3^(n-2)-1/2*n/3^(n-1)-2/3（1-1/3^n)/(1-1/3)
=9/4-1/4*1/3^(n-2)-1/2*n/3^(n-1)-(1-1/3^n)
=5/4-1/(4*3^n)*(9+6n-4)
=5/4-1/(4*3^n)*(5+6n)

Answer 2

因为是等差数列，所以2a2=a1+a3,所以由s3=12有a2=4,又2a1,a2,a3+1成等比数列，a2*a2=2a1(a3+1）,设公差为d，有a1=4-d,a3=4+d,代入，有d=3或-4（舍去-4，因为正项数列）
所以a1=4-d=1,所以an=3n-2
bn=n/3＾n(-1) - 2/3＾n
这时，前一部分和后一部分分开求和
前一部分用错位相减，后一部分用等比数列求和
应该会了吧
之后就是计算的事了。
（相同的问题。。。）