Question

证明;在平行四边形ABCD中,AC的平方+BD的平方=2[AB的平方+BC的平方]

Answer 1

好吧，不用向量余弦如下
平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，过点D作DF垂直BC延长线于点F，设高为H，AD=BC=a，AB=CD=b
AE垂直BC，DF垂直BC，易证BE=FC，
根据勾股定理，
BE^2+H^2=AB^2
FC^2+H^2=CD^2
(a-BE)^2+h^2=AC^2
a^2-2*a*BE+BE^2+H^2=a^2-2*a*BE+b^2=AC^2
(a+FC)^2+h^2=BD^2
a^2+2*a*FC+FC^2+H^2=a^2+2*a*FC+b^2=BD^2
两式相加，因为BE=FC，所以
2*（a^2+b^2）=AC^2+BD^2
即在平行四边形ABCD中，AC的平方+BD的平方=2（AB的平方+BC的平方）
（电脑上不太好打可能有疏漏之处）

Answer 2

有平行四边形的cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2*AB*BC),cosC=(BC^2+DC^2-BD^2)/(2*BC*DC)
应为平行四边形的对边相等，所以AB=DC,所以cosC=(BC^2+AB^2-BD^2)/(2*BC*AB)
又应为角B+角C等于180°，所以cosB=-cosC。
所以(AB^2+BC^2-AC^2)/(2*AB*BC)
=(BC^2+AB^2-BD^2)/(2*BC*AB)，因此AC^2+BD^2=2[AB^2+BC^2]

Answer 3

利用余弦定理：
AB的平方+BC的平方-2*AB*BC*cos角ABC=AC的平方
BC的平方+CD的平方-2*BC*CD*cos角BCD=BD的平方
以上两式相加
然后利用
AB=CD,cos角ABC+cos角BCD=0化简即可得

Answer 4

一个朋友的解答，很不错的。
如图
对角线BD平方=c^2+(2a+b)^2
对角线AC平方=b^2+c^2
对角线平方和=2c^2+2b^2+4a^2+4ab
AB^2=
(a+b)^2
BC^2=a^2+c^2
2(AB^2+BC^2)=2(2a^2+b^2+2ab+c^2)=2c^2+4a^2+2b^2+4ab
得证

Answer 5

运用向量做
向量中AC=AB+BC,BD=BC+CD=BC-AB
所以AC平方+BD平方=2（AB平方+BC平方）。