已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=a...
已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=a2-1b2-1．...
已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=a2-1b2-1．
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证明：由题意得，a=sinθsinφ，b=tanθtanφ=sinθcosφcosθsinφ，
a2-1b2-1=(sinθsinφ)2-1(sinθcosφcosθsinφ)2-1=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θcos2φ-cos2θsin2φ
=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ(1-sin2φ)-cos2θsin2φ=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2θsin2φ-cos2θsin2φ
=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2φ(sin2θ+cos2θ)=cos2θ，
又θ为锐角，所以cos2θ=cosθ，
即cosθ=a2-1b2-1成立．
a2-1b2-1=(sinθsinφ)2-1(sinθcosφcosθsinφ)2-1=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θcos2φ-cos2θsin2φ
=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ(1-sin2φ)-cos2θsin2φ=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2θsin2φ-cos2θsin2φ
=cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2φ(sin2θ+cos2θ)=cos2θ，
又θ为锐角，所以cos2θ=cosθ，
即cosθ=a2-1b2-1成立．
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