Question

已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x)满足对于任意m,n,都有f(m*n)=f(m)+f(n),且当x>1,f(x)<0.

（1）求证：1是函数f（x）的零点
(2)证明y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数

（3）当f（2）=-1/2，解不等式f（ax＋4）＞-1

Answer 1

1
函数f(x)满足对于任意m,n,都有f(m*n)=f(m)+f(n),
令m=n=1,得：
f(1*1)=f(1)+f(1)==>f(1)=0
∴1是函数f（x）的零点
2
设0<x1<x2, x2/x1>1
取m=x2/x1,n=x1
f(x2/x1*x1)=f(x2/x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0
f(x2)-f(x1)<0
y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数
3
f（ax＋4）＞-1
==>
f（ax＋4）＞f(2)+f(2)=f(4)
==>0<ax+4<4
==>-4<ax<0
当a>0时，
==>-4/a<x<0
当a<0时，
-4<ax<0
==>0<x<-4/a
当a=0时；
-4<ax<0，无解

Answer 2

1
令m=0 n=1
f(0)=f(0)+f(1)
f(1)=0
2
f(m*n)=f(m)+f(n)
f(m*n)-f(m)=f(n)
设x1>x2
x1/x2>1
令x1=m*n x2=m
x1/x2=n
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0
f(x1)<f(x2)
y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数
3
f(2*2)=f(2)+f(2)=-1
f(ax+4)>-1
f(ax+4)>f(4)
ax+4<4
ax<0
a<0

Answer 3

证明：（1）由f(m*n)=f(m)+f(n),得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0
故1是函数f（x）的零点
(2)设a,b属于（0，正无穷）且a>b,
则有a/b>1,f(a/b)<0,
故f(a)=f(b)+f(a/b)，故f(a)-f(b)<0
所以y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数
（3）解：由于f（2）=-1/2 ，则 f（2）+f（2）=f(4)=-1
所以f（ax＋4）＞f(4)
f(x)是(0,正无穷)上的减函数
有ax＋4<4,即ax<0
若a=0,则无解
若a>0,x<0无解
若a<0,x>0.

Answer 4

（1）求证：1是函数f（x）的零点
∵f(m*1)=f(m)+f(1),∴f(1)=0,即1是函数f（x）的零点

(2)证明y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数
设0<x1<x2,则x2/x1>1,f(x2/x1)<0;
f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0,即f(x2)<f(x1),y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数
（3）当f（2）=-1/2，解不等式f（ax＋4）＞-1

∵f（2）=-1/2，∴-1=f(2)+f(2)=f(2*2)=f(4);
而y=f(x)是(0,正无穷)上的减函数，∴0＜x＜4时，f(x)＞-1

解不等式f（ax＋4）＞-1，得0＜ax＋4＜4。再分别讨论a=0,a>0和a<0三种情况，解不等式