Question

如图 Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°。△EDF绕着边AB的终点D旋转，ED，DF分别交线段AC于

如图 Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°。△EDF绕着边AB的终点D旋转，ED，DF分别交线段AC于点M、k.如果MK²+CK²=AM²，写出∠CDF的度数和MK/AM的值

Answer 1

（3）∠CDF=15°，
详解如下：由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK^2+CK^2=AM^2，
∴MK^2+GK^2=GM^2，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=1/2∠CKG=45°，
又有（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，
∴ MK/GM= (√3)/2，
∴ MK/AM= (√3)/2．

Answer 2

：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=

1
2
AB，∠B=∠BDC=60°

又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；（2分）
②由①，得
∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．（2分）

（2）＞（2分）
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD、
∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，（3分）
∵DM=DM，
∴

AD=DG∠ADM=∠GDMDM=DM
∴△ADM≌△GDM，（SAS）
∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（1分）

（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK2+CK2=AM2，
∴MK2+GK2=GM2，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=

1
2
∠CKG=45°，

又有（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，
∴

MK
GM
=

3
2
，∴

MK
AM
=

3
2 ．（2分）

Answer 3

 

（2）证明：作点C关于FD的对称点G，

连接GK，GM，GD，

则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，

∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．

∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，

∠ADM+∠CDK =60°．

∴∠ADM=∠GDM，

∵DM=DM， 

∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．

∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK

Answer 4

（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK2+CK2=AM2，
∴MK2+GK2=GM2，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=12∠CKG=45°，
又有（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，
∴MKGM=32，
∴MKAM=32．（2分）

Answer 5

（2）＞（2分）
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD、
∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，（3分）
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK

Answer 6

？