Question

已知函数f(x)=x-ax2+bx+1是奇函数．（1）求a、b的值；（2）写出f...

已知函数f(x)=x-ax2+bx+1是奇函数． （1）求a、b的值； （2）写出f（x）的单调区间（不需要证明）； （3）求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）因为f(x)=x-ax2+bx+1是奇函数，则有f(0)=-a1=0，故a=0，
再由f（1）+f（-1）=0得12+b+-12-b=0，
即12+b=12-b，即2+b=2-b，可得b=0，
故有a=b=0
（2）由（1）知f(x)=xx2+1 可知：f′(x)=1-x 2(x2+1) 2
令导数小于0，解得x的取值范围是（-∞，-1）、（1，+∞）
令导数大于0，解得x的取值范围是（-1，1）
故函数在（-∞，-1]、[1，+∞）上分别递减；（-1，1）上递增；
（3）由（1）知f(x)=xx2+1=1x+1x，
当x＞0时，x+1x≥2，则f（x）∈（0，12]
当x＜0时，x+1x≤-2，则f（x）∈[12，0）
当x=0时，f（x）=0显然成立
综上知，函数的值域是：[-12， 12]．