Question

中值定理。。

我想问下在做这道题目时，为什么说显然f(x)在区间 [0,x]满足拉格朗日中值定理呢？怎么样找这个区间呢？希望大家帮我讲讲。。。 我想问怎么去找这个区间，题目中直接写区间[0，x]是怎么想的？

Answer 1

令f(x)=e^(-1/x)f(x)
显然f(0)=e^(-∞)f(0)=0=0
f(1)=e^(1/3)f(0)=e^(1/3)×0=0
由拉格朗日中值定理
f'(ξ)=f(1)-f(0)/(1-0)
因为f'(x)=(1/x^2)e^(-1/x)f(x)+e^(-1/x)f'(x)
=e^(-1/x)(f(x)/x^2+f'(x))
所以e^(-1/
ξ
)(f(
ξ
)/
ξ
^2+f'(
ξ
))=f(1)-f(0)/(1-0)
e^(-1/
ξ
)(f(
ξ
)/
ξ
^2+f'(
ξ
))=0
e^(-1/
ξ
)(f(
ξ
)+ξ
^2f'(
ξ
))=0
f(
ξ
)+ξ
^2f'(
ξ
)=0