Question

N(0,1),求E|x| 答案是知道的,但积分过程有点不清楚,微积分很烂,麻烦把积分过程写细点

Answer 1

E|x|=1/根号(2pi)*积分 |x|e^(-x^2/2) dx
=1/根号(2pi)*积分 |x|e^(-x^2/2) dx+1/根号(2pi)*积分 |x|e^(-x^2/2) dx
=1/根号(2pi)*积分 (-x)e^(-x^2/2) dx+1/根号(2pi)*积分 xe^(-x^2/2) dx
第一个积分 y=-x
dx=-dy
=1/根号(2pi)*积分ye^(-y^2/2) (-dy)+1/根号(2pi)*积分 xe^(-x^2/2) dx
=1/根号(2pi)*积分ye^(-y^2/2) dy+1/根号(2pi)*积分 xe^(-x^2/2) dx
=2/根号(2pi)*积分 xe^(-x^2/2) dx
再换元t=x^2/2
dt=xdx
=2/根号(2pi)*积分 e^(-t)dt
=[2/根号(2pi)]*(-e^(-t))|
=根号2/根号pi

Answer 2

ʃ<+∞,-∞>|x|φ(x)dx

=2ʃ<+∞,0>xφ(x)dx

=如图

=√(2/π)