Question

1×2×3×4×…×2010×2011的乘积是一个多位数，而且末尾有许多个零，那么从右到左第一个不等于零的数

是多少？

Answer 1

在所有的因子中，
末位是"1"的共有202个；
末位是"2"的共有201个；
末位是"3"的共有201个；
末位是"4"的共有201个；
末位是"5"的共有201个；
末位是"6"的共有201个；
末位是"7"的共有201个；
末位是"8"的共有201个；
末位是"9"的共有201个；
其中“1”的不影响；
"2”和"5"的可抵消；
则该结果与（3×4×6×7×8×9）^201的末位数相等。
因为3×4×6×7×8×9=36288
所以上述结果与8^201的末位数相等。
设y为8^x的末位数，
则有
y=8（x=4n+1）
y=4（x=4n+2） n∈Z
y=2（x=4n+3）
y=6（x=4n）
因为201=4×50+1
所以8^201的末位数是8
所以从右到左第一个不等于零的数是8.

Answer 2

首先要明确一个前提:所求的数字一定是偶数(2,4,6,8)
因为每个因数2与因数5相乘,会在乘积的末尾增加1个0
连续的自然数相乘,因数2足够多,
除了一部分和5相乘产生0以外,还会余下很多因数2
所以最右边第一个非零数字一定是偶数

先把5的倍数都用1代替,每10个数的尾数变成
1,2,3,4,1,6,7,8,9,1
对应的乘积的尾数为:
1,2,6,4,4,4,8,4,6,6
每10个数相乘,乘积的个位数字是6
2011÷10=201...1
在不考虑5的倍数的情况下,1×2×3×...×2011的个位数字就是6
下面再来看5的倍数
2011÷5=402...1
把5的倍数都提取因数5,就是5×(1×2×3×4×5×6×...×402)
把括号里面的1×2×...×402按照刚才的方法再来一次
402个数,乘积的个位数字是2
然后把1×2×3×...×402里面5的倍数再提取因数5
402÷5=80...2
就成了5×(1×2×3×...×80)
按照上面的方法,乘积的个位数字就是6
再继续
80÷5=16
16个数的乘积,个位数字是4
16÷5=3...1
3个数的乘积,个位数字是6
(注意,上面所谓的乘积,指的都是把因数5提出来以后,或者说把5的倍数用1来替换以后的乘积)
这样,把所有因数5都提取以后,乘积的个位数字就是
6×2×6×4×6--->8
1--2011,因数5一共有402+80+16+3=501个
我们知道,一个数乘5,相当于把这个数先添上一个0,然后再除以2
现在要乘501个5,就要除以501个2,即除以2的501次方
2的连续次方,个位数字为2,4,8,6循环
501÷4=125...1
所以2的501次方的个位数字是2
个位数字是8的数,再除以个位数字是2的数,商的个位还要是偶数
只能是8÷2=4
所以1×2×...×2011右边第一个非零数字就是4

希望杯提供的答案,还有网上的大多数答案,算出是8,思路就是错的

Answer 3

在所有的因子中，
末位是"1"的共有202个；
末位是"2"的共有201个；
末位是"3"的共有201个；
末位是"4"的共有201个；
末位是"5"的共有201个；
末位是"6"的共有201个；
末位是"7"的共有201个；
末位是"8"的共有201个；
末位是"9"的共有201个；
其中“1”的不影响；
"2”和"5"的可抵消；
则该结果与（3×4×6×7×8×9）^201的末位数相等。
因为3×4×6×7×8×9=36288
所以上述结果与8^201的末位数相等。
设y为8^x的末位数，
则有
y=8（x=4n+1）
y=4（x=4n+2） n∈Z
y=2（x=4n+3）
y=6（x=4n）
因为201=4×50+1
所以8^201的末位数是8
所以从右到左第一个不等于零的数是8.

首先要明确一个前提:所求的数字一定是偶数(2,4,6,8)
因为每个因数2与因数5相乘,会在乘积的末尾增加1个0
连续的自然数相乘,因数2足够多,
除了一部分和5相乘产生0以外,还会余下很多因数2
所以最右边第一个非零数字一定是偶数

先把5的倍数都用1代替,每10个数的尾数变成
1,2,3,4,1,6,7,8,9,1
对应的乘积的尾数为:
1,2,6,4,4,4,8,4,6,6
每10个数相乘,乘积的个位数字是6
2011÷10=201...1
在不考虑5的倍数的情况下,1×2×3×...×2011的个位数字就是6
下面再来看5的倍数
2011÷5=402...1
把5的倍数都提取因数5,就是5×(1×2×3×4×5×6×...×402)
把括号里面的1×2×...×402按照刚才的方法再来一次
402个数,乘积的个位数字是2
然后把1×2×3×...×402里面5的倍数再提取因数5
402÷5=80...2
就成了5×(1×2×3×...×80)
按照上面的方法,乘积的个位数字就是6
再继续
80÷5=16
16个数的乘积,个位数字是4
16÷5=3...1
3个数的乘积,个位数字是6
(注意,上面所谓的乘积,指的都是把因数5提出来以后,或者说把5的倍数用1来替换以后的乘积)
这样,把所有因数5都提取以后,乘积的个位数字就是
6×2×6×4×6--->8
1--2011,因数5一共有402+80+16+3=501个
我们知道,一个数乘5,相当于把这个数先添上一个0,然后再除以2
现在要乘501个5,就要除以501个2,即除以2的501次方
2的连续次方,个位数字为2,4,8,6循环
501÷4=125...1
所以2的501次方的个位数字是2
个位数字是8的数,再除以个位数字是2的数,商的个位还要是偶数
只能是8÷2=4
所以1×2×...×2011右边第一个非零数字就是4

希望杯提供的答案,还有网上的大多数答案,算出是8,思路就是错的

Answer 4

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