Question

几道微积分的题，比较迷惑恳请大神解答！！

Answer 1

完整详细过程如图rt

Answer 2

1.∫(x＋1)/(x²＋4x＋4) dx
=∫(x＋2–1)/(x²＋4x＋4) dx
=∫(x＋2)/(x²＋4x＋4)dx–∫dx/(x²＋4x＋4)
=∫dx/(x＋2)–∫dx/(x＋2)²
=ln|x＋2|＋1/(x＋2)＋C
2.∫(2x＋3)/(x²＋2x＋2) dx
=∫(2x＋2＋1)/(x²＋2x＋2) dx
=∫(2x＋2)/(x²＋2x＋2) dx＋∫dx/(x²＋2x＋2)
=∫1/(x²＋2x＋2) d(x²＋2x＋2) ＋∫dx/[(x＋1)²＋1]
=ln(x²＋2x＋2)＋arctan(x＋1)＋C
3.∫(x–2)dx/[(x＋2)(x²–x＋1)]
=∫[–4/7(x²–x＋1)＋(4/7 x–5/7)(x＋2)]dx/[(x＋2)(x²–x＋1)]
=–4/7 ∫dx/(x＋2)＋1/7 ∫(4x–5)dx/(x²–x＋1)
=–4/7∫dx/(x＋2)＋1/7 ∫(4x–2–3)dx/(x²–x＋1)
=–4/7∫dx/(x＋2)＋2/7∫(2x–1)dx/(x²–x＋1)–3/7∫dx/[(x–1/2)²＋(∨3/2)²]
=–4/7 ln|x＋2|＋2/7 ln(x²–x＋1)–2∨3/7 arctan[(2x–1)/∨3] ＋C

附:
令(x–2)/[(x＋2)(x²–x＋1)]=a/(x＋2)＋(bx＋c)/(x²–x＋1)
则ax²–ax＋a＋bx²＋cx＋2bx＋2c=x–2
a＋b=0，2b＋c–a=0，a＋2c=–2
c=–5/7
a=–4/7
b=4/7
所以(x–2)/[(x＋2)(x²–x＋1)]
=–4/7 · 1/(x＋2)＋(4/7 x–5/7)/(x²–x＋1)

函数f(x)求导后会出现分式的，最常见的几种情况
①f(x)=m·(g(x))^a ＋ C (a为负整数)，
← → f'(x)=a·m·g'(x)/[g(x)]^(1–a)
②f(x)=m·ln|g(x)| ＋ C， ← →f'(x)=[m·g'(x)]/g(x)
③f(x)=m·arctan[g(x)]＋C，←→ f'(x)=m·g'(x) /[1＋(g(x))²]
(m为常数)
在求被积函数是分式形式的不定积分的时候，可以将被积函数试着进行上面几种形式进行拆分。

Answer 3

1).分子变为x+2-1

原式=∫1/(x+2)-1/(x＋2)²dx=ln|x+2|＋1/(x+2)+c

2).分子变为2x+2+1，2x+2dx=x²＋2x＋2原式=∫(2x+2)/(x²+2x+2)+1/((x+1)²+1)dx=ln(x²+2x+2)+arctan(x+1)+c

3).可以设原被积函数=A(2x-1)/(x²-x+1)+B/(x+2)+C/(x²-x+1)

原积分=Aln(x²-x+1)+Bln|x＋2|+2/√3*C*arctan((2x-1)/√3)+c

用待定系数法求出A＝2/7，B＝-4/7，C＝-3/7即可求出原函数

Answer 4

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问