Question

二阶可导的条件

Answer 1

二阶可导的条件：

①在闭区间[a,b]上连续

②在(a,b)内可导

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。 一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

几何意义
（1）切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。[1]

这里以物理学中的瞬时加速度为例:

根据定义有

可如果加速度并不是恒定的，某点的加速度表达式就为：

a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)

又因为v=dx/dt 所以就有：

a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数

将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数

f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）

f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)

Answer 2

二阶可导的条件？我们总觉得导函数有一层面纱，迷迷蒙蒙看不透。其实，它也是一个函数。有关函数的一切图象和性质都适用于它。
f(0)的2阶导数存在，为什么需要f(x)的一阶导数在x=O连续？
关键：导函数f'(x)也是函数。如三次函数y=x^3-x+2的导数是二次函数y'=3x^2-1,它也有定义域（原函数的定义域的子集），值域，单调性、连续性、可导性等等。
函数f(x)在x＝x0处可导的必要是函数f(x)在x=x0处连续。
同理，函数f'(x)在x＝x0处可导的必要是函数f'(x)在x=x0处连续。因为求f(x)的2阶导数，需要f(x)1阶导数的条件跟求f(x)的1阶导数，需要f(x)的条件一样，不连续的话不能导。