设G=（a）是15阶循环群，（1）求G的所有生成元（2）求出G的所有子群
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设G=<a>是15阶循环群,
则G={a,a^2,...,a^14,a^15=1}.
其中凡是与15互素的i,
a^i都是G的生成元.
因此:
(1)
G的所有生成元为a,
a^2,
a^4,
a^7,
a^8,
a^11,
a^13,
a^14.
(2)
G的所有子群为
15阶<a>=G;
5阶子群<a^3>={a^3,a^6,a^9,a^12,a^15=1};
3阶子群<a^5>={a^5,a^10,a^15=1};
单位子群1.
其中5阶子群和3阶子群是非平凡子群,
15阶的和1阶的(单位子群)是平凡子群.
则G={a,a^2,...,a^14,a^15=1}.
其中凡是与15互素的i,
a^i都是G的生成元.
因此:
(1)
G的所有生成元为a,
a^2,
a^4,
a^7,
a^8,
a^11,
a^13,
a^14.
(2)
G的所有子群为
15阶<a>=G;
5阶子群<a^3>={a^3,a^6,a^9,a^12,a^15=1};
3阶子群<a^5>={a^5,a^10,a^15=1};
单位子群1.
其中5阶子群和3阶子群是非平凡子群,
15阶的和1阶的(单位子群)是平凡子群.
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