Question

已知圆C：x^2+y^2-6y+8=0,O为原点。（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；

(2)若P是圆上C上的动点，M是OP的中点，求点M的轨迹方程

Answer 1

解：
1、
设过原点O的圆C的切线方程为y=kx
y=kx代入x²+y²-6y+8=0
(k²+1)x²-6kx+8=0
直线与圆相切，方程有两相等的实数根。
(-6k)²-4(k²+1)×8=0
整理，得
k²=8
k=2√2或k=-2√2
(2)
x²+y²-6y+8=0
x²+(y-3)²=1
设点P坐标(cosa，3+sina)
设点M坐标(x，y)
x=(cosa+0)/2=cosa/2 cosa=2x
y=(sina+3+0)/2=(sina+3)/2 sina=2y-3
cos²a+sin²a=1
(2x)²+(2y-3)²=1
x²/(1/4)+(y-3/2)²/(1/4)=1
这就是所求的点M的轨迹方程，是一个椭圆。

Answer 2

第一问，由题意。
设切点为(x0,y0).
则有。x0^2+(y0-3)^2=1 和 x0^2+y0^2+x0^2+(y0-3)^2=9。
解得y0为8/3，x0为±(2√2)/3。
又过原点。则分别为y=±(2√2)x。
第二问，
设p为(x1,y2).则m(1/2x1,1/2y1)
令m为(x2,y2).
则x1=2x2,y1=2y2.代入原圆方程得到x2y2关系。