Question

初三数学题(高手请进)在线等!!!

对于二次函数y=ax^2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x^2+2x+2) 请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 请写出详解,在线等!!!!!

Answer 1

不存在
反证法：
假设存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线
并设为：y=ax^2+bx+c（|a|<1/2)
则由x=0时，y是整数得到：c是整数
再由x=1,x=-1时都是整数得到：
a+b+c=p(p是整数）
a-b+c=q(q是整数）
两式相加得到：2a+2c=p+q是整数
因为2c,p+q都是整数
所以2a也是整数
但由假设|a|<1/2，|2a|<1,2a不是整数
两者矛盾
所以假设不成立
所以不存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线