Question

设函数f(x)=llgxl,若0<a<b,且f(a)>f(b),证明:ab<1

证明过程?

Answer 1

f(x)=|lgx|=lgx
(当x>=1时)
=-lgx
(当0<x<1)
题中说f(a)>f(b)
(1)假设0<a<b<1,f(a)-f(b)=(-lga)-(-lgb)=lgb-lga=lg(b/a),
因为b/a>1,所以lg(b/a)>lg1=0
.
所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b),
这种情况符合题意,
此时ab<1成立.
(2)假设0<a<1<b,
f(a)-f(b)=(-lga)-(lgb)=-lgb-lga=-lg(ab)要>0,
只能lg(ab)<0,即lg(ab)<lg1.
所以ab<1.
(3)假设1<a<b,
f(a)-f(b)=lga-lgb=lg(a/b)要>0,
是不可能的啦.因为a/b<1.
综上:符合0<a<b,且f(a)>f(b)的,只能是前2种情况,即0<a<b<1或0<a<1<b,
而且此时:ab<1..
所以:函数f(x)=llgxl,若0<a<b,且f(a)>f(b)成立,那么必有ab<1...