Question

求dy/dx+y/x=1,当x=2^1/2,y=0时的特解=?

Answer 1

求dy/dx+y/x=1,当x=√2,y=0时的特解
令y/x=u,则y=ux.(1)；对x取导数得dy/dx=u+x(du/dx),代入原式得：
u+x(du/dx)+u=1,即有x(du/dx)=1-2u；分离变量得du/(1-2u)=dx/x；
取积分 -(1/2)∫d(1-2u)/(1-2u)=∫dx/x
积分之得 -(1/2)ln(1-2u)=lnx,即有ln(1-2u)=ln(1/x²)；
故得1-2u=1/x²,u=(1/2)(1-1/x²)=(x²-1)/(2x²)；
代入(1)式得通解y=(x²-1)/(2x)+C.(2),将初始条件代入得1/(2√2)+C=0,故C=-(√2)/4；
代入(2)式即得特解y=(x²-1)/(2x)-(√2)/4.