Question

若实数x,y满足条件：x^2+y^2-2x+4y=0,求x-2y的最大值？

请写出详细推导过程！
能用三角函数解吗？

Answer 1

x^2+y^2-2x+4y=0===>(x-1)^2+(y+2)^2=5为圆的方程
设k=x-2y==>y=(-1/2)*(x-k)=(-1/2)x+(1/2)*k;
又因为若实数x,y满足条件：x^2+y^2-2x+4y=0
即直线上的点要至少有一个在圆上,那最远的即k的最大值就是直线与圆相切时,根据点到直线的距离公式为
|1-2*(-2)-k|/√(1+2^2)=√5===>k=10或k=0
所以x-2y的最大值为10

Answer 2

x^2+y^2-2x+4y=0
x^2-2x+1+y^2-4y+4-5=0
(x+1)^2+(y-2)^2=5
(x+1)^2<=5 1- 根号5<= x <= 1+根号5
(y-2)^2<=5 -2-根号5<= y<= 根号5-2
4-2根号5<= -2y <=4+根号5
5-3根号5<= x-2y <=5+3根号5

Answer 3

由x^2+y^2-2x+4y=0可推出:(x-1)^2+(y+2)^2-5=0
当x=1,y=-2时,x-2y有最大值5