Question

在△ABC中，满足：AB⊥AC，M是BC的中点．（Ⅰ）若|AB|=|AC|，求向...

在△ABC中，满足：AB⊥AC，M是BC的中点． （Ⅰ）若|AB|=|AC|，求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值； （Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且|AB|=|AC|=2，求OA•OB+OC•OA的最小值．

Answer 1

解：（I）设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为θ，
∴cosθ=(.AB+2AC)•(2AB+AC)|AB+2AC||2AB+AC|，
设|AB|=|AC|=a，∵AB⊥AC，
∴cosθ=2a2+2a25a5a=45；
（II）∵|AB|=|AC|=2，
∴|AM|=1
设|OA|=x，则|OM|=1-x，而OB+OC=2OM，
∴OA•OB+OC•OA=OA•(OB+OC)=OA•2OM=2|OA||OM|cosπ=-2x（1-x）=2x2-2x=2（x-12）2-12，
当且仅当x=12时，OA•OB+OC•OA的最小值是-12．