Question

设f(x)在【0，1】上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0.求证:存在v∈(0，1)，使f'

设f(x)在【0，1】上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0.求证:存在v∈(0，1)，使f'(v)=－(f(v)/v).

Answer 1

构造辅助函数g(x)=xf(x)，则g(x)同样满足在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，且g(0)=g(1)=0，根据罗尔定理，知存在v属于(0,1)，使得f'(v)=f(v)+vf'(v)=0，即f'(v)=-f(v)/v。