Question

已知函数.求函数的单调区间;若,求实数的取值范围;求证:.

已知函数. 求函数的单调区间; 若,求实数的取值范围; 求证:.

Answer 1

先求出函数定义域,在定义域内解含参的不等式,;函数恒成立,即恒成立.分离变量,得恒成立,则只需大于等于的最大值即可.用导数可求出的最大值.构造函数,用导数可判断其在上单调递增,从而,再令,得到一不等式,分别取,,,,再累加即可.
解:的定义域为.,令,则.当时,,所以,在上单调递增;当时,若,即,,所以,在上单调递增;当时,若,即时,令,得,由,即,得;由,即,得或.此时,的单调减区间是,单调增区间,.综上,当时,的单调增区间是;当时,的单调减区间是,单调增区间,.由,可得,则当时,恒成立,令,则,令,则当时,,所以在上为减函数.又,所以在上,;在上,.所以在上为增函数;在上为减函数.所以,所以.令,则,所以在上单调递增,当时,,即,,令,则有,故,,,,,累加上式,得.故.
本题主要考察了应用导数求函数的单调区间,最值,以及恒成立问题,利用导数证明不等式,一般要构造函数或者借助前面小题中某个结论.