Question

杨辉三角中的数学规律

杨辉三角中的数学规律

Answer 1

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理.　　例如,在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数,　　即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2　　第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数　　即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3　　以此类推.　　又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n,m-1),即为从n个不同元素中取m-1个元素的组合数.因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n　　因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学.求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计算,称为“式算”；用杨辉三角形来计算,称作“图算”.