Question

若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是

A.f(x)+1为奇函数
B.f(x)+1为偶函数
C.f(x)为奇函数
D.f(x)为偶函数

Answer 1

解答：解：∵对任意x1，x2∈R有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1， ∴令x1=x2=0，得f（0）=-1 ∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1， ∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]， ∴f（x）+1为奇函数． 故选C

Answer 2

解答:
令x1=x2=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+1,得到f(0)=-1
令g(x)=f(x)+1,则有g(x)+g(-x)=f(x)+1+f(-x)+1=[f(x)+f(-x)+1]+1=f(x-x)+1=f(0)+1=0
故有g(x)=-g(-x),即有f(x)+1是奇函数,选择A