Question

求双曲线方程一道题

已知抛物线y方=4x和以坐标轴为对称轴,实轴在y轴上的双曲线相切,又直线y=2x被双曲线截得线段长为2倍根5,求双曲线方程

Answer 1

设：双曲线方程为Y^2/【a^2】-X^2/【b^2】=1（a>0,b>0)，与Y^2=4X联立得：
4X/【a^2】-X^2/【b^2】=1，a^2*X^2-4b^2*X+a^2*b^2=0------------
一式
因为抛物线与双曲线相切，所以一式有两个相等实根，故：16b^4-4a^4*b^2=0
4b^2(4b^2-a^4)=0
因为b>0，所以4b^2-a^4=0，b^2=1/4*a^4,双曲线方程可化为：Y^2/【a^2】-4X^2/【a^4】=1-----------
二式
又直线y=2x被双曲线截得线段长为2倍根5,且双曲线关于坐标轴对称的性质，可求得直线y=2x与双曲线交于（1，2）和（-1，-2）两点，将点（1，2）代入二式得：4/【a^2】-4/【a^4】=1，a^4-4a^2+4=0,(a^2-2)^2=0,a^2-2=0,a^=2,所以b^2=1/4*a^4=1/4*2*2=1
故双曲线方程为：Y^2/2-X^2/1=1,即：Y^2/2-X^2=1