Question

证明:z=f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)处,连续,但偏导数不存在

1 为什么 |x|+|y|在点x -> 0,y -->0 的时候极限值为0
2 f(x,0)的导数是什么？为什么子x=0的导数不存在
3 导数和偏导数的几何意义是什么

Answer 1

1、图里的证明利用了绝对值函数的连续性，如果你按连续性的定义也是容易证明的。

2、f(x,0) = |x|，这个函数在0点是不存在导数的，你可验证其左右导数不等，一为-1，一为1。

几何意义：表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

求法：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

Answer 2

1. 图里的证明利用了绝对值函数的连续性，如果你按连续性的定义也是容易证明的。
2. f(x,0) = |x|，这个函数在0点是不存在导数的，你可验证其左右导数不等，一为-1，一为1。
3. 导数是针对一元函数讲的，偏导数是针对多元函数讲的。前者的几何意义是曲线的斜率，而后者是曲面（以二元函数为例）在给定某点的条件下，在某一方向上的斜率（x轴方向或y轴方向）。

追问

谢谢你 我==就选择您这个高手 还有一个小问题 如图用红笔画的那个步骤就是偏导数的偏导数 偏导数2x/(x²+y²)的偏导数怎么求解的 怎么会化解成这样呢

追答

这个不就是一般的求导过程么。。。把y看做一个数，对x求导。。。
f(x)/g(x)的导函数=[f '(x)g(x) - g '(x)f(x)]/[g(x)]^2