Question

设f(x)在[-a,a]( a>0,a为常数)上连续, 证明:∫(-a→a)f(x)dx=∫(0→a)[f(x)+f(-x)]dx

Answer 1

显然
∫(-a→a)f(x)dx
=∫(-a→0)f(x)dx
+
∫(0→a)f(x)dx
而
∫(-a→0)f(x)dx
=∫(a→0)f(-x)d(-x)
=
-∫(a→0)f(-x)dx
颠倒上下限
=∫(0→a)f(-x)dx
所以
∫(-a→a)f(x)dx
=∫(-a→0)f(x)dx
+
∫(0→a)f(x)dx
=∫(0→a)f(-x)dx+
∫(0→a)f(x)dx
=∫(0→a)
[f(x)+f(-x)]
dx
于是就得到了证明