Question

已知函数f（x）=12x2-alnx（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；...

已知函数f（x）=12x2-alnx（a∈R）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求证：x＞1时，12x2+lnx＜23x3．

Answer 1

解：（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），因为f′(x)=x-ax，
①当a≤0时，f′(x)=x-ax＞0，所以f （x）的单调递增区间为（0，+∞）
②当a＞0时，因为f′(x)=x-ax=x2-ax=(x-a)(x+a)x，
令f'（x）＞0，有x＞a；所以函数f （x）的单调递增区间为（a，+∞）；
令f'（x）＜0，有0＜x＜a．所以函数f （x）的单调递减区间为(0，a)．
（2）设g(x)=23x3-12x2-lnx，则g′(x)=2x2-x-1x，
当x＞1时，g′(x)=(x-1)(2x2+x+1)x＞0，
所以g （x）在（1，+∞）上是增函数，所以g(x)＞g(1)=23-12＞0
所以当x＞1时，12x2+lnx＜23x3成立．