Question

设函数f（x）=x2-ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（-∞，1）...

设函数f（x）=x2-ax+b，a，b∈R． （1）已知f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，求a的取值范围； （2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．

Answer 1

解：（1）∵函数的对称轴为x=a2，
∴要使f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，则满足对称轴x=a2≥1，即a≥2．
（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，
∴b＞0，
①若a≤0，则a2≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，
∴f(x)min=f(0)≥2f(x) max=f(b)≤6，即b≥2b2-ab+b≤6，
由b2-ab+b≤6得a≥b-6b+1≥2-62+1=0，
∴a=0，此时b≥2b2+b≤6，
解得a=0b=2．
②若0＜a2＜b2，即0＜a＜b，此时f(x)min=f(a2)≥2f(x)max=f(b)≤6，
即b-a24≥2b2-ab+b≤60＜a＜b，∴b≥a24+2a≥b-6b+10＜a＜b，即b≥2b-6b+1＜b，
∴2＜b＜6，
又b-a24≥2，则a≤2b-2，
∴b-6b+1≤2b-2，
令h（x）=x-6x+1，g（x）=2x-2，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，
当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），
∴不等式b-6b+1≤2b-2的解为2＜b≤3，
当b=3时，3-a24≥232-3a+3≤60＜a＜3，即a≤2a≥20＜a＜3，解得a=2．
③若0＜a2=b2，即0＜a=b，此时f(x)min=f(a2)≥2f(x)max=f(0)≤6，
即b-a24≥2b≤60＜a＜3，此时不等式无解．
④若0＜b2＜a2＜b，即0＜b＜a＜2b，此时f(x)min=f(a2)≥2f(x)max=f(0)≤6，即b-a24≥2b≤6，
即b≥a24+2b≤6b＜a，∴a24+2＜a，a2-4a+8＜0此时不等式无解．
⑤若a2≥b，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，
∴f(x)min=f(b)≥2f(x)max=f(0)≤6，即b2-ab+b≥2b≤6a≥2b，即a≤b-2b+1b≤6a≥2b，
∴2b≤b-2b+1，
即b+2b≤1，而当b＞0时，b+2b≥22＞1，∴此时不等式无解．
综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．