Question

已知函数f(x)=lnx+x^2-ax(a属于R) (1)求f(x)的单调区间 (2)当f(x)≤2x^2时，求a范围

Answer 1

x属于(0,正无穷）。
f'(x)=1/x+2x-a=（2x^2-ax+1)/x,
x>0,
delta=a^2-8
令delta=0,
a=+-2√2
当-2√2<=a<2√2时，f'(x)恒大于0，f(x)在(0,正无穷)单调递增；
当a=2√2时，f'(x)=0的解为√2/2，因为f(x)在√2/2处连续，故f(x)在(0,正无穷)单调递增；
当a>2√2时，f'(x)=0的两个解[a+√(a^2-8)]/4和[a-√(a^2-8)]/4均大于0，f(x)在(0,[a-√(a^2-8)]/4)之间递增，在([a-√(a^2-8)]/4,[a+√(a^2-8)]/4)递减，在([a+√(a^2-8)]/4,正无穷)递增；
当a<-2√2时，f'(x)=0的两个解[a+√(a^2-8)]/4和[a-√(a^2-8)]/4均小于0,故f(x)在(0,正无穷)单调递增。
综上：a<=2√2时，f(x)在(0,正无穷)单调递增；
当a>2√2时，f(x)在(0,[a-√(a^2-8)]/4)之间递增，在([a-√(a^2-8)]/4,[a+√(a^2-8)]/4)递减，在([a+√(a^2-8)]/4,正无穷)递增。
(2)f(x)<=2x^2,
即lnx-x^2-ax<0
设g(x)=lnx-x^2-ax，g(x)恒小于0,即g(x)的最大值小于0。
g’(x)=1/x-2x-a=-(2x^2+ax-1)/x，
x>0，
2x^2+ax-1=0方程的delta=a^2+8>0
故g‘(x)=0的解为[-a+√(a^2+8)]/4和[-a-√(a^2+8)]/4。
其中[-a-√(a^2+8)]/4<0,
[-a+√(a^2+8)]/4>0
故g(x)在(0,[-a+√(a^2+8)]/4)递增，在([-a+√(a^2+8)]/4，正无穷)递减。
x=[-a+√(a^2+8)]/4时，g(x)<=0，即可解出a的范围。