求不定积分∫[x^(1/2)]dx/[x^(1/2)-x^(1/3)]
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令x=t^6 dx=6t^5dt
原式=∫6(t^8)dt/(t^3-t^2)
=6∫(t^6)dt/(t-1)
令u=t-1 t=u+1 dt=du
原式=6∫(u+1)^6du/u
=6∫(u^5+6u^4+15u^3+20u^2+15u+6+1/u)du
=6[1/6*u^6+6/5*u^5+15/4*u^4+20/3*u^3+15/2*u^2+6u+ln|u|]+C
=u^6+36/5*u^5+45/2*u^4+40*u^3+45*u^2+36u+6ln|u|+C
=(t-1)^6+36/5*(t-1)^5+45/2*(t-1)^4+40*(t-1)^3+45*(t-1)^2+36(t-1)+6ln|t-1|+C
=(x^(1/6)-1)^6+36/5*(x^(1/6)-1)^5+45/2*(x^(1/6)-1)^4+40*(x^(1/6)-1)^3+45*(x^(1/6)-1)^2+36(x^(1/6)-1)+6ln|x^(1/6)-1|+C
原式=∫6(t^8)dt/(t^3-t^2)
=6∫(t^6)dt/(t-1)
令u=t-1 t=u+1 dt=du
原式=6∫(u+1)^6du/u
=6∫(u^5+6u^4+15u^3+20u^2+15u+6+1/u)du
=6[1/6*u^6+6/5*u^5+15/4*u^4+20/3*u^3+15/2*u^2+6u+ln|u|]+C
=u^6+36/5*u^5+45/2*u^4+40*u^3+45*u^2+36u+6ln|u|+C
=(t-1)^6+36/5*(t-1)^5+45/2*(t-1)^4+40*(t-1)^3+45*(t-1)^2+36(t-1)+6ln|t-1|+C
=(x^(1/6)-1)^6+36/5*(x^(1/6)-1)^5+45/2*(x^(1/6)-1)^4+40*(x^(1/6)-1)^3+45*(x^(1/6)-1)^2+36(x^(1/6)-1)+6ln|x^(1/6)-1|+C
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