Question

在复数范围内，写出x^4=1的根

用设x=a+bi方法 麻烦啦

Answer 1

x=a+bi(a、b为实数)
x^4=(a+bi)^4
=[a^2+2abi+(bi)^2]^2
= (a^2+2abi-b^2)^2
=a^4+(2abi)^2+b^4+4a^3bi-2a^2b^2-4ab^3i
=a^4-4a^2b^2+b^4-2a^2b^2+(4a^3b-4ab^3)i
=(a^4-6a^2b^2+b^4)+(4a^3-4ab^3)i
=1
a^4-6a^2b^2+b^2=1，4a^3b-4ab^3=0，4ab(a^2-b^2)=0，a=0或b=0或a=b(舍去)或a=-b(舍去)。
a=0,b=+-1或b=0,a=+-1。
所以，x=i或x=-i或x=1或x=-1。

Answer 2

不要这样设，会非常麻烦
设x=re^(iθ)，用指数形式表示1=e^(i2kπ)
那么r^4*e^(4iθ)=e^(i2kπ)
所以r^4=1
4iθ=i2kπ
∴r=1, θ=kπ/2 (k=0,1,2,3只有4个根)
即x=e^(ikπ/2), k=0,1,2,3
也即x=±1或±i
当然更简单的方法是直接因式分解。。。我只是做了一个普遍的方法

Answer 3

x^4=1
x^4-1=0
（x²＋1﹚﹙x²－1﹚=0
x²＝－1或x²＝1
x=±i,或x=±1

Answer 4

x^4=1
x^2=+1或x^2=-1
x=+1huox=-1huo x=i huo x=-i

Answer 5

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