Question

如图，已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．

如图，已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B．DE⊥x轴于点C．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由．

Answer 1

解:(1)抛物线y=-x²+bx+9-b²过原点O(0,0),则：0=9-b²,b=±3;
又对称轴X=-b/2a=-b/-2=b/2>0,则b>0,即b=3.
∴该抛物线所对应的函数关系式为y=-x²+3x.
(2)①y=-x²+3x=-(x-3/2)²+9/4.故顶点为(3/2,9/4),对称轴为X=3/2；
点A在抛物线上，设点A为(m,-m²+3m),则0<m<3/2; BC=2(3/2-m)=3-2m.
3-2m为整数,则m=1/2或1；
当m=1/2时：BC=3-2m=2;AB=-m²+3m=5/4(不合题意，舍去）；
当m=1时：BC=3-2*1=1;AB=-m²+3m=2.
∴矩形ABCD周长=2(AB+BC)=2*(2+1)=6.
②设A为(m,-m²+3m),则AB=-m²+3m;BC=2(3/2-m)=3-2m.
矩形ABCD周长=2(AB+BC)=-2(m-1/2)²+13/2.
∴m=1/2时，矩形ABCD周长有最大值，且最大值为13/2；此时点A为(1/2,5/4).
③矩形ABCD周长为最大值时，点A为(1/2,5/4)时，矩形面积=AB*BC=(5/4)*2=2.5；
而当m=3/5时,矩形面积=AB*BC=(-m²+3m)*(3-2m)=2.592>2.5
所以,当矩形周长取得最大值时,它的面积并不是最大值.

Answer 2

1. 过点（0,0),所以，常数项为0，b=+/-9,又因为对称轴-b/2a为正数，而a=-1，因此b=+3，函数可知。
2. 把A的坐标用（x, -x2+3x)表示出来，因为A在X轴上方，因此纵坐标是正，可用-x2+3x来表示AB的长度，BC的长度则用抛物线与X轴的总长度减去两倍的OB长，表示为BC=3-2x。 根据已知：
2.1，让AB和BC都为整数，x=1（x=0舍，因为构不成四边形）,周长为4.
2.2周长最大，则AB+BC=x2+x+3取最大值，当x=0.5,周长最大值为13/2 此时A坐标为（1/2,5/4)
2.3不会

Answer 3

-1,4.5,0 过点（0,0),所以，常数项为0，b=+/-9,又因为对称轴-b/2a为正数，而a=-1，因此b=+3，函数可知。
2. 把A的坐标用（x, -x2+3x)表示出来，因为A在X轴上方，因此纵坐标是正，可用-x2+3x来表示AB的长度，BC的长度则用抛物线与X轴的总长度减去两倍的OB长，表示为BC=3-2x。 根据已知：
2.1，让AB和BC都为整数，x=1（x=0舍，因为构不成四边形）,周长为4.
2.2周长最大，则AB+BC=x2+x+3取最大值，当x=0.5,周长最大值为13/2 此时A坐标为（1/2,5/4)

Answer 4

（1） 把（0，0） 带入式子 得 b=3 or -3 由于定在在第一象限 所以 b=3
y=-x^2 +3x
（2）1、 设A(a,-a^2+3a) (0<=a<=3/2) AB=-a^2+3a BC=3-2a 顶点M为（3/2,9/4） AB=1 or 2 带入函数式 只有当AB=2时 a=1 BC=1 周长为6
2、周长C=2（-a^2 +a+3） 顶点坐标公式 顶点为（1/2,13/2） 周长最大值为6.5 A坐标为（1/2,5/4）
3、S=AB x BC = 2a^3-9a^2+9a
对所得式子求导得S'= 3（2a^2-6a+3）
再次求导S"=3(4a-6) 在 0<=a<=3/2内 s"<0
所以 S' 为减函数 a=3/2时 S'=-4.5 a=0时 S'=9 中间有一个零点
令S'=0 代a=1/2进入 S'中 S'=0不成立 所以 此时面积并不取得最大值

哦 天啊 终于做完了 最后问有点悬 希望采纳 做了好久 读大学后都忘记光了