Question

复变函数 留数积分问题

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-----------------------在|z|=2中的积分 怎么用无穷远点积分简化做题？
(z-1)^10*(z+3)

Answer 1

因为在积分区域|z|=2中，被积函数只有z=1这个十阶极点，所以积分值为2πiRes[f(z) , 1]。
但是这个计算过程太繁琐，根据柯西推广定理，我们得到Res[f(z) , 1]=-(Res[f(z) , -3]+Res[f(z) , 无穷])，所以计算以上两个留数的和，就是被积函数在z=1处的留数。
算出来Res[f(z) , -3]=1/(-4)^10；Res[f(z) , 无穷]=-Res[f(1/w)*(1/w^2) , 0]=0。