设函数f(x)=lnx-x+1(1)求函数的最大值；（2）证明：1+1/2+1/3...+1/n-1+1/n>ln(n+1)(n∈N*）
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(1)f(x)=lnx-x+1(x>0)，f'(x)=1/x-1=(1-x)/x>0，则0<x<1。
所以f(x)的极大值(也是最大值)为f(1)=0。
(2)由(1)知，lnx-x+1<=0，即lnx<=x-1(x>0)。
即ln(1+x)<=x(x>=-1)。取x=1、x=1/2、…、x=1/n。
ln(1+1)=ln(2/1)<1、ln(1+1/2)ln(3/2)<1/2、…、ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n]<1/n。
1+1/2+1/3+…+1/n>ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*(3/2)*(4/3)*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
所以f(x)的极大值(也是最大值)为f(1)=0。
(2)由(1)知，lnx-x+1<=0，即lnx<=x-1(x>0)。
即ln(1+x)<=x(x>=-1)。取x=1、x=1/2、…、x=1/n。
ln(1+1)=ln(2/1)<1、ln(1+1/2)ln(3/2)<1/2、…、ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n]<1/n。
1+1/2+1/3+…+1/n>ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*(3/2)*(4/3)*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
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