Question

为什么实对称矩阵的特征向量正交化并单位化后仍为原矩阵的特征向量?

Answer 1

原因如下：

首先，不同特征值对应的特征向量必然正交。这是因为设有实对称阵A, 其两个互不相等的特征值为e1和e2，对应的特征向量分别是v1, v2. 因为 Av1=e1v1, Av2=e2v2, 所以v2'Av1=e1v2'v1, v1'Av2=e2v1'v2.  由于A实对称，e1和e2互异，必有v1'v2＝0，所以v1, v2 正交。

其次，同一特征值对应的不同特征向量可以正交化。这是因为对某特征值e而言，其特征向量满足(A-eI) v=0, 因此所有e对应的特征向量构成了A-eI的零空间。我们可以取这个空间的一组正交基作为e对应的特征向量。

最后，如果v是A的一个特征向量，那么对任意非零常数a而言av也是其特征向量，所以特征向量可以单位化。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数。

3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若A具有k重特征值λ0　必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。

5.实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

以上内容参考 百度百科-实对称矩阵