Question

利用导数的定义求函数y=根号(x^2+1)的导数

Answer 1

定义：
y'=lim dx->0 [y(x+dx)-y(x)]/dx
=lim dx->0 [根号((x+dx)^2+1)-根号(x^2+1)]/dx
分子有理化，上下同乘[根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1)]
注意分子是(a-b)(a+b)=a^2-b^2,根号抵消
=lim dx->0 [((x+dx)^2+1)-(x^2+1)]/[dx(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]
=lim dx->0 (2x*dx+dx^2)/[dx(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]
=lim dx->0 (2x+dx)/[(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]
然后把dx=0代入，得到
y'=2x/[2根号(x^2+1)]=x/根号(x^2+1)

Answer 2

定义　　设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).
　　如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.
f'(x)=lim(△x->0)△y/△x
=lim(△x->0)[f(x+△x)-f(x)]/△x
=lim(△x->0){√[(x+△x)^2+1]-√(x^2+1)}/△x
=lim(△x->0){√[(x+△x)^2+1]-√(x^2+1)}*){√[(x+△x)^2+1]+√(x^2+1)}/{△x*{√[(x+△x)^2+1]+√(x^2+1)}}
=lim(△x->0)[2x*△x+(△x)^2]/{△x*{√[(x+△x)^2+1]+√(x^2+1)}}
=lim(△x->0)(2x+△x)/*{√[(x+△x)^2+1]+√(x^2+1)}
=2x/[2√(x^2+1)]
=x/√(x^2+1)

Answer 3

y=根号(x^2+1)
y=(x^2+1)^1/2
y'=1/2(x^2+1)^-1/2

追问

什么意思?

追答

举个例子吧，y=x^n的导数就是y'=nx^(n-1)