Question

根号下9减x的平方不定积分

Answer 1

解答过程如下：

这道题用三角代换把x换为3sint，从而dx=d（3sint）=3cost，所以根号9-x平方不定积分就可以化为9cos^2t求不定积分。

而根据2cos^2-1等于cos2t，可以将cos^2t等于1/2（cos2t+1），从而原式就变成对9/2（cos2t+1）求不定积分。这就可以分别对9/2cos2t和9/2求不定积分。

9/2的不定积分的原函数为9/2t+C1。而对9/2cos2t求不定积分，首先要把dt化为d2t，则变为对9/4cos2td（2t）求不定积分，则得出原函数为9/4×sin2t+C2。

故原式求不定积分则得到9/2×t+9/4×sin2t+C，然后将t变换为原来的x，则sin2t＝2sintcost=2×x/3×1/3×根号9-x平方，t＝arcsinx/3。

所以最终答案是1/2×x×根号下9-x的平方+9/2×arcsin（x/3）+C

一般形如√(a²-x²) 通常用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。