Question

已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标
(2)若P（0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设三角形PAD的面积为S，令W=t.s,当0<t<4时,w是否有最大值?如果有,求出w的最大值和此时T的值,如果没有,说明理由.
探究二:如图2,是否存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似?如果存在,求点P的坐标,如果怒存在,请说明理由.
(参考资料:抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=-b/2a)

Answer 1

解：
（1）、抛物线y=ax^2-x+3的对称轴为直线x=-2，所以1/2a=-2，解得a=-1/4，该抛物线的解析式为y=-x^2/4-x+3，顶点D的坐标（-2，4）；
（2）、依据抛物线的解析式为y=-x^2/4-x+3，可以求得A（-6，0）、B（2，0）、C（0，3），
则OA=6，OB=2，OC=2
探究一：当0<t<4时，过D点作DE垂直Y轴交Y轴于E，则DE=2，所以△PAD的面积S＝梯形OADE的面积-△OPA的面积-△PDE的面积=0.5*(2+6)*4-0.5*6*t*-0.5*2*(4-t)=12-2t，所以W=t.s=12t-2t^2=-2(t-3)^2+18，因此当t=3时，w有最大值18。
探究二：存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似，AD=4根号2，
1）过A点作AP垂直AD交Y轴于P，则AD：OC=AP：OA，求得AP=12根号2，而AP^2=OA^2+OP^2，即36+t^2=288，解得t=-2根号61，
2）PD垂直AD或DP垂直AP情况，经验证都无解。
综上所述，点P的坐标为（0，-2根号61）

追问

我认为探究其2）答的不对，其中T=2是一个值，也就是P（0，2）

追答

2）DP垂直AP情况，经验证无解
3）PD垂直AD时，有DP：OC=AD：AO，解得DP=2根号2，则(4-t)^2+4=8，解得t=2(t=6不合题意，舍去)

Answer 2

楼上，之前的都是错的

分析：（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：
（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．
∴--12a=-2，
∴a=-14，
∴y=-14x2-x+3．
∴D（-2，4）．
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线y=-14x2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．（4分）
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，
则DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP
=12(DM+OA)•OM-12OA•OP-12DM•MP
=12(2+6)×4-12×6×t-12×2×(4-t)
=12-2t（6分）
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+18
∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，
∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，AD=2DE=42，
∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．
∴P1M=DM=2，P1D=2DM=22．
此时OCP1D=OAAD=324，
又因为∠AOC=∠P1DA=90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1=OM-P1M=4-2=2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，
此时P1点的坐标为（0，2）
②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，
∴P2A=OAcos45°=62，
∴P2AOA=626=2．
∵ADOC=423，
∴ADOC≠P2AOA．
∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．（12分）（结论（1分），过程1分）
③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径r=AD2=22，
圆心O1到y轴的距离d=4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
可以根据这个http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/fd290bb3-b24f-4c00-840c-7bd4076dc59a

Answer 3

Answer 4

题目还没全呢··

追问

W有没有最大值

追答

1你既然知道对称轴方程，带进去，对称轴x=-(-1)/2a=-2,可以得到a=-1/4,
这样就很容易求的ABCD点了
2，已知AP点，可以求出，AP直线的方程，AP与对称轴的交点E，这样就可以得到DE的长度，那么就可以得到PAD的面积，它肯定是关于t的方程，再代入W中，可以得到一个方程，又有0<t<4,那么可以知道是否有最大值