Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为2分之根号2。直线y=k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M,N。 (1)求椭圆C的方程 (2)当三角形AMN的面积为3分之根号10时，求k的值

Answer 1

|由A(2,0)可得:a=2,
离心率
e=c/a=c/2=√2/2,
∴c=√2,
b=√(a^2-c^2)=√2,
∴椭圆方程为:x^2/4
+y^2/2=1,
设M(x1，y1)，N(x2，
y2
)
联立直线椭圆，得：
(1+2k²)x²
-
4k²x+2k²-4=0
x1+x2=4k²/(1+2k²)，x1x2=(2k²-4)/(1+2k²)
|MN|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√{
(x1-x2)²
+
[k(x1-1)
-
k(x2-1)]²
}
=√[(x1-x2)²
+
k²(x1-x2)²]
=√[(1+k²)(x1-x2)²]
=√{
(1+k²)[(x1+x2)²
-
4x1x2]
=√{
(1+k²)[16k^4/(1+2k²)²
-
4(2k²-4)/(1+2k²)
]
}
=√[(1+k²)(
24k
²+16)/(1+2k²)²
]
A
点到直线距离
为
h=|k|/√(1+k²)
∴S=(1/2)·h·|MN|
=(1/2)·[|k|/√(1+k²)]
·√[(1+k²)(24k²+16)/(1+2k²)²
]
=(1/2)·|k|·√[(24k²+16)/(1+2k²)²]
=√10/3
即：|k|·√[(24k²+16)/(1+2k²)²]
=
2√10/3
两边平方，得：(24k^4
+
16k²)/(1+2k²)²
=
40/9
即：7k^4
-
2k²
-
5=0
解得：k²=1或-5/7
(舍去)
∴k²=1
∴k=±1