Question

高等数学，单调有界数列有极限？

Answer 1

首先假定极限存在，则等式两侧求极限得到

a= 根号(a(6-a))

两侧平方得到a^2 =a(6-a), 2a^2=6a, a=3或者a=0

a(n+1)^2 = 6a(n)-a(n)^2

a(n+1)^2 - a(n)^2 = 6a(n) -a(n)^2 - 6a(n-1) + a(n-1)^2 = 6(a(n)-a(n-1)) -(a(n)-a(n-1))(a(n)+a(n-1)) = (6 -a(n)-a(n-1)) (a(n)-a(n-1))

这样用数学归纳法证明 a(n-1)<a(n)<3

证明：

1. a(2)=2, 满足a(1)<a(2)<3
   

2. 假设n=k满足，当n=k+1时

   a(k+1)^2 = 6a(k) -a(k)^2 =a(k)(6-a(k) = (根号[a(k)(6-a(k)])^2

   <= ((a(k)+6-a(k))/2)^2 =9

   a(k+1)<3得证

   同时a(k+1)^2 - a(k)^2 = (6-a(k)-a(k-1))(a(k) -a(k-1)) >0

   所以 a(k+1) >a(k)

   得证

   所以数列单调增加且有上界，极限为3