Question

处于静电平衡的空腔导体,其内表面是否带电,可以用静电场环路定理分析吗？

Answer 1

首先，静电平衡的条件是导体内部场强处处为0，E是电势的梯度的负数，所以整个导体上的电势都是一个常数，即导体是等势体，导体内部没有电荷的定向移动。
所以，如果空腔内部没有电荷，那么在导体内部贴着导体内表面取一高斯面，因导体内部场强为0，所以电场强度对此高斯面的面积分为0，由高斯定理知，高斯面内部电荷的代数和一定是0.
代数和为0又有两种情况，要么整个面内没有电荷，要么整个面内有电荷但是代数和为0.如果是后者，那么内表面上必定有等量的正负电荷，也就一定有电场线从正电荷发出且终止于负电荷。设正电荷在A点，负电荷在B点，那么电场线就只能是在空腔内部由A走到B（导体内部场强处处为0，不能有电场线）由静电场环路定理，E对dl的积分与路径无关，所以从A到B不论走哪条路积分的值应该一样，但是如果路径是从导体内部由A走到B，积分的值就是0，与AB间有电势差就矛盾了。
所以如果处于静电平衡的空腔导体内部没有电荷的话，就只有内表面不带电这一种情况了。
但是如果内表面本身就带了电荷（如+Q），那么因为导体内部场强处处为0，就可以在导体内贴着内表面取一高斯面，其内部电荷代数和为0，所以此时内表面就要带上等量异号的电荷-Q才能满足这一条件。
静电平衡的问题归根究底还是从E内=0出发的。