Question

证明y=sin(1/x)在定义域内连续

Answer 1

由于所给函数是奇函数，所以不妨设x是定义域内x>0的任一点。
又当︱Δx︱<x/2时， x+Δx>x/2
于是，Δy=sin(1/(x+Δx)-sin(1/x)=2cos[(2x+Δx)/(2x(x+Δx))]sin[-Δx/(2x(x+Δx))]
︱Δy︱=︱sin(1/(x+Δx)-sin(1/x)︱=︱2cos[(2x+Δx)/(2x(x+Δx))]sin[-Δx/(2x(x+Δx))]︱
≤︱Δx︱/︱x(x+Δx)︱<2︱Δx︱/x^2
故对任给的ε>0，取δ=min{x/2,(x^2)ε/2}，
则当︱Δx︱<δ时就有︱Δy︱<ε成立。
故这就证明了y=sin（1/x）在定义域内是连续的。

Answer 2

sin（x）在实数轴上连续
1/x在0点外连续，所以符合函数连续。
都是利用初等函数的性质。
如果你要直接从定义正，会比较麻烦，不过只是对着书照葫芦画瓢而已。

Answer 3

解
函数y=sin(1/x)可以看做由y=sinμ及μ=(1/x)复合而成。sinμ当-∞<μ<+∞时是连续的，1/x当-∞<x<0和0<x<+∞时是连续的。
根据初等函数的连续性定理【设函数μ=φ(x)在x0处连续切μ0=φ(x)，函数y=f(μ)在μ0处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在x0也连续】
所以，函数sin(1/x)在区间(-∞<x<0)和(0<x<+∞)内是连续的。