Question

初三数学，二次函数

对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1,x2,```````xn，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x取什么值时，（x-x1)^2+(x-x2)^2+`````+(x-xn)^2最小？（^2，是平方的意思）x所取的这个值与那个常用的统计量有关系？

Answer 1

很多东西都忘记了，尝试下吧。
设Y=本式 则有y=nX'2-2(X1+X2+...+Xn)X+（X1'2+X2'2+...+Xn'2）
n＞0，有抛物线性质当切线y=2nX-2（X1+X2+...Xn）=0（n＞0）时，恰好切线切于抛物线的最低点。 此时X=(X1+X2+...Xn)/n，为平均数。最小值是Y=....没必要算出来吧。。。。。呵呵，给分啊，老大。。。

追问

不懂！

追答

展开式子啊？ 抛物线（a＞0）不是 最低点最小？在最低点的切线斜率为0，切线就是求导数。。。。我突然发现你初三？我晕，我用了高中的方法了。

追问

对呀！（但是这道题，出现在初三的课本上，肯定能用二次函数的知识来做的）

追答

展开后 Y=nX'2-2(X2+X2+X3+...+Xn)X+X1'2+X2'2+...+Xn'2
这是个抛物线对吧？ n大于0 说明在X=-b/2a时即X=-【-2(X1+X2+X3+...+Xn)】/2n取得最小值，
化简X=X1+X2+X3+。。。+Xn/n 是吧，这是抛物线的性质，

追问

Y=nX'2-2(X2+X2+X3+...+Xn)X+X1'2+X2'2+...+Xn'2，怎么得到的？

追答

y=求最小值的式子啊， 拆开合并同类项就可以得到了。，

Answer 2

y=（x-x1)²+(x-x2)²+`````+(x-xn)²
=nX²-2(X1+X2+...+Xn)X+（X1²+X2²+...+Xn²）
﹙此式是关于x的一元二次函数，可用一元二次函数的性质来求其最小值﹚
∵n＞0
∴X=2(X1+X2+...Xn)/2n=(X1+X2+...Xn)/n
y=（x-x1)²+(x-x2)²+`````+(x-xn)²取最小值
∴X=(X1+X2+...Xn)/n，即x是X1，X2，..Xn这n个数的平均数，也就是方差

追问

解释下“nX²-2(X1+X2+...+Xn)X+（X1²+X2²+...+Xn²）”怎么来的？

追答

把（x-x1)²+(x-x2)²+`````+(x-xn)²
中的各项用完全平方公式展开后再合并

Answer 3

跟方差有关系