Question

一道高数题追加50分求助

各段用X如何表示，请写出分析过程，不要只写答案

Answer 1

这里其实考察的是反三角函数的取值问题。首先是函数的自变量和应变量的问题，一个自变量只能对应一个应变量；然后观察y=sinx，可以发现，当x在[-π/2, π/2]时能取到-1到1的所有值且一一对应（这样取反之后才能保证一个自变量y对应一个应变量x），所以取反之后，arcsin的值域就是[-π/2, π/2]，在一个周期内的其他区间无法做到一个y对应一个x。
考虑图中曲线所在周期：
AB段：x属于第二象限，考虑sin函数在一二象限的取值关系（互补角的sin值相同），所以x=π-arcsiny；
BD段：x=π-arcsiny
DC段：x=2π+arcsiny

追问

那BD段为什么也是BD段：x=π-arcsiny呢

追答

因为sinx当x在三四象限的时候取负值，而x=arcsiny在y为负的时候，x是-π/2到0。而从图中可以看BD段x是π到3π/2，一结合就可以用π-arcsiny。主要是因为sin函数本身是关于y轴对称的